Question

20．已知曲线f（x）=x³+x²+x+3在x=-1处的切线与抛物线y=2px²相切，则抛物线的准线方程为（　　）

• A． $x=\frac{1}{16}$
• B． x=1
• C． y=-1
• D． y=1

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，求得x=-1处切线的斜率，以及切点，运用点斜式方程可得切线的方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，解得p，进而得到抛物线的方程和准线方程．

解答 解：f（x）=x³+x²+x+3的导数为f′（x）=3x²+2x+1，
则在x=-1处的切线斜率为3-2+1=2．切点为（-1，2），
切线的方程为y-2=2（x+1），即y=2x+4，
与抛物线y=2px²相切，可得2px²-2x-4=0，
由判别式△=4+32p=0，
解得p=-$\frac{1}{8}$．
抛物线的方程为y=-$\frac{1}{4}$x²，
即x²=-4y，
即有准线方程为y=1．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．