Question

16．已知函数f（x）=ln（1+x）．
（Ⅰ）过点（-1，0）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程；
（Ⅱ）若0＜x＜1，不等式f（x）＞x+mxf（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-x-mxf（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，求导，再分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$，设切点为（x₀，y₀），
则切线方程为y-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（x-x₀），
∵切线过点（-1，0），
∴0-y₀=$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（-1-x₀），
即-ln（1+x₀）=-$\frac{1}{{x}_{0}+1}$（1+x₀），解得x₀=e-1，
∴y₀=1，f′（x₀）=$\frac{1}{e}$，
∴切线方程为y-1=$\frac{1}{e}$（x-e+1），即x-ey+1=0，
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-x-mxf（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，
则F′（x）=-mln（1+x）+$\frac{1-mx}{1+x}$-1，x∈（0，1），
令g（x）=-mln（1+x）+$\frac{1-mx}{1+x}$-1，
g′（x）=-$\frac{mx+2m+1}{（1+x）^{2}}$，
当m≤-$\frac{1}{2}$时，
∵x∈（0，1），
∴g′（x）＞0，
则函数F′（x）在（0，1）上单调递增，
∴F′（x）＞F′（0）=0，
则函数F（x）在（0，1）单调递增，
∴F（x）＞0，
当m≥0时，
∵x∈（0，1），
∴g′（x）＜0，
则函数F′（x）在（0，1）上单调递减，
∴F′（x）＜F′（0）=0，
则函数F（x）在（0，1）单调递减，
∴F（x）＜0，不合题意，
当-$\frac{1}{2}$＜m＜0时，令x₀=min{1，-$\frac{2m+1}{m}$}
当x∈（0，x₀]时，g′（x）＜0，则函数F′（x）在（0，x₀]上单调递减，
∴F′（x）＜F′（0）=0，
则函数F（x）在（0，0，x₀]单调递减，
∴F（x）＜0，不合题意，
综上所述，实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]

点评 本题考查函数的恒成立问题，关键构造函数，利用导数，考查函数的单调性的运用，属于中档题．