Question

11．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且0≤x≤2时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，若函数g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在区间[-3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，则a的取值范围是$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．

Answer 1

分析 由题意可得f（x）是周期为4的周期函数，作出y=f（x）在[0，3]上的图象，可得y=ax（a＞0）分别与函数y=-4x²+12x-8及y=-4（x-1）²+12（x-1）-8的图象相切，再由判别式等于0求得a值，即可求得a的取值范围．

解答 解：由题意可知，f（2）=0．
∴f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），
可知f（x）是周期为4的周期函数，又函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-12{x^2}+12x，x∈[{0，1}]\\-4{x^2}+12x-8，x∈（1，2]\end{array}$，
作出其在[0，3]上的图象如图：

要使函数g（x）=f（x）-a|x|（a≠0），在区间[-3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点，
则函数y=ax（a＞0）与y=f（x）在区间（0，3]上至多有4个零点，至少有2个零点，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-4{x}^{2}+12x-8}\end{array}\right.$，得4x²+（a-12）x+8=0，
由△=a²-24a+16=0，得a=12-8$\sqrt{2}$；
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=-4（x-1）^{2}+12（x-1）-8}\end{array}\right.$，得4x²+（a-20）x+24=0，
由△=a²-40a+16=0，得a=$20-8\sqrt{6}$．
∴函数g（x）=f（x）-a|x|（a≠0）在区间[-3，3]上至多有9个零点，至少有5个零点的a的取值范围是$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．
故答案为：$[20-8\sqrt{6}，12-8\sqrt{2}]$．

点评 本题考查根的存在性与根的个数判断，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．