Question

19．已知函数f（x）=x|x-a|．
（1）当a=1时，写出函数f（x）的增区间；
（2）求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值g（a）；
（3）（2）中g（a）满足g（a）-m≥0对任意实数a恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值的意义，去掉绝对值，配方，即可得到a=1的增区间；
（2）讨论a≤0时，f（x）在[0，2]递增，可得f（x）的最大值；讨论当a＞0时①当$\frac{a}{2}$≥2或0＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a≤2，②当$\frac{a}{2}$＜2＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a，结合图象即可得到所求最大值；
（3）由g（a）满足g（a）-m≥0对任意实数a恒成立，即为m≤g（a）的最小值，由（2）可得最小值，进而得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
即为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$．
（1）当a=1时，增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$），（1，+∞）；
（2）当a≤0时，f（x）在[0，2]递增，f（x）的最大值为f（2）=4-2a；
当a＞0时，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）递增，
在（$\frac{a}{2}$，a）递减，在（a，+∞）递增，
令（x-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$，（x≥a＞0），解得x=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a，
①当$\frac{a}{2}$≥2或0＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a≤2即0＜a≤4（$\sqrt{2}$-1）或a≥4时，
f（x）的最大值为f（2）=2|2-a|；
②当$\frac{a}{2}$＜2＜$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$a即4（$\sqrt{2}$-1）＜a＜4时，
f（x）的最大值为f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
综上可得，f（x）在[0，2]的最大值
g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4-2a，a≤4（\sqrt{2}-1）}\\{\frac{{a}^{2}}{4}，4（\sqrt{2}-1）＜a＜4}\\{2a-4，a≥4}\end{array}\right.$；
（3）由g（a）满足g（a）-m≥0对任意实数a恒成立，
即为m≤g（a）的最小值，
由（2）可得g（a）≥g（4$\sqrt{2}$-4）=12-8$\sqrt{2}$，
则满足题意的m的取值范围是（-∞，12-8$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查含绝对值函数的单调性和最值的求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查化简能整理的运算能力，属于中档题．