Question

14．设函数$f（x）=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$+2．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=2．求角B．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积即可求出f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（B）=2结合B的范围即可求得角B．

解答 解：（1）$f（x）=6{cos^2}x-2\sqrt{3}sinxcosx$+2=3（1+cos2x）$-\sqrt{3}sin2x$+2
=$-\sqrt{3}sin2x+3cos2x+5$=$-2\sqrt{3}（\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）+5$=$-2\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）+5$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．值域为[$5-2\sqrt{3}，5+2\sqrt{3}$]；
（2）在锐角△ABC中，由f（B）=$-2\sqrt{3}sin（2B-\frac{π}{3}）+5=2$，得
sin（$2B-\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$2B-\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），∴2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，得B=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数最值的求法，是基础题．