Question

3．如图，已知D是△ABC边BC上一点．
（1）若B=45°，且AB=DC=1，求△ADC的面积；
（2）当∠BAC=90°时，若$BD：DC：AC=2：1：\sqrt{3}$，且$AD=4\sqrt{2}$，求DC的长．

Answer 1

分析 （　　）1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，由已知可求AE，进而利用三角形面积公式即可计算得解．
（2）设CD=x，则BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，可求BC=3x，进而利用余弦定理，三角函数的定义建立方程即可解得DC的值．

解答 解：（1）过A点作AE⊥BC，交BC于点E，
∵B=45°，且AB=DC=1，
则AE=ABsinB=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
可得：S_△ADC=$\frac{1}{2}$DC•AE=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
（2）设CD=x，则BD=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∴BC=CD+BD=3x，
∴cos∠ACB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在△ADC中由余弦定理可得AD²=AC²+CD²-2AC•CD•COS∠ACB，
即（4$\sqrt{2}$）²=3x²+x²-2×$\sqrt{3}$x•x•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得x=4，
即DC=4

点评 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．