Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$经过点$（1，\frac{3}{2}）$，离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-2$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式求得b²=$\frac{3}{4}$a²，将$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得椭圆方程．

解答 解：（1）由椭圆e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则b²=$\frac{3}{4}$a²，
将$（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}{a}^{2}}=1$，解得：a²=4，b²=3，
故椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，则A（1，$\frac{3}{2}$），B（1，-$\frac{3}{2}$），
则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{5}{4}$≠-2，
当直线的斜率存在时，设直线l的方程y=k（x-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1），
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1），
=（1+k²）x₁x₂+k²（x₁+x₂）+k²，
=$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
由$\frac{-5{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$=-2，解得：k=±$\sqrt{2}$，
直线l的方程y=±$\sqrt{2}$（x-1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．