Question

8．（1）已知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+3，（{x≤0}）\\{（{x-2}）^2}，（{x＞0}）\end{array}\right.$在区间（m²-4m，2m-2）上能取得最大值，求实数m的取值范围；
（2）设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数，若$f（1）=\frac{3}{2}$，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+3，x≤0\\{（{x-2}）^2}，x＞0\end{array}\right.$的图象，在区间（m²-4m，2m-2）上能取得最大值，可得，$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-4m＜0\\ 0＜2m-2≤4\end{array}\right.$，即可求实数m的取值范围；
（2）求出f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），再根据g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，即可求m的值．

解答 解：（1）作函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+3，x≤0\\{（{x-2}）^2}，x＞0\end{array}\right.$的图象如下，

结合图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-4m＜0\\ 0＜2m-2≤4\end{array}\right.$；解得1＜m≤3；
故实数m的取值范围为（1，3]；
（2）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x）
即a^-x-（k-1）a^x=-a^x+（k-1）a^-x，
即（k-1）（a^x+a^-x）-（a^x+a^-x）=0，（k-2）（a^x+a^-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=2．
∵f（x）=a^x-a^-x，∴$f（1）=\frac{3}{2}$，∴$a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$，解得a=2．
故f（x）=2^x-2^-x，g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，易得t为增函数，由x∈[1，+∞），得$t∈[{\frac{3}{2}，+∞}）$，
则2^2x+2^-2x=t²+2，∴$g（x）=h（t）={t^2}-2mt+2={（{t-m}）^2}+2-{m^2}，t∈[{\frac{3}{2}，+∞}）$．
当$m＜\frac{3}{2}$时，h（t）在$[{\frac{3}{2}，+∞}）$上是增函数，则$h（{\frac{3}{2}}）=-2，\frac{9}{4}-3m+2=-2$，
解得$m=\frac{25}{12}$（舍去）．当$m≥\frac{3}{2}$时，h（m）2-m²=-2，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．

点评 本题考查函数的最值，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想，属于中档题．