Question

3．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+$\frac{x^3}{3}-{x^2}-2ax（{a∈R}）$．
（1）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=-$\frac{1}{2}$时，函数y=f（1-x）-$\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{b}{x}$有零点，求实数b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用函数f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，导函数的符号，通过①当a=0时，②当a≠0时，说明只能a＞0，利用函数的单调性以及最值求解a的取值范围．
（2）当$a=-\frac{1}{2}$时，函数$y=f（{1-x}）-\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{b}{x}$有零点等价于方程：$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^2}}}{3}+\frac{b}{x}$有实根，$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}+\frac{b}{x}$可化为：$lnx-{（{1-x}）^2}+（{1-x}）-\frac{b}{x}$=0．等价于b=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
令函数h（x）=lnx+x-x²（x＞0），求解$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{{（{2x+1}）（{1-x}）}}{x}$，求出函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，
∴$f'（x）=\frac{{x[{2a{x^2}+x-4ax-4{a^2}-2}]}}{2ax+1}≥0$在区间[3，+∞）上恒成立，
①当a=0时，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．
②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知2ax+1＞0对x≥3恒成立，
故只能a＞0，∴2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0在[3，+∞）上恒成立，
令函数g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其对称轴为$x=1-\frac{1}{4a}$，
∵a＞0，∴$1-\frac{1}{4a}＜1$，要使g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
即g（3）=-4a²+6a+1≥0，∴$\frac{{3-\sqrt{13}}}{4}≤a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$，
∵a＞0，∴$0＜a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$，综上所述，a的取值范围为$0＜a≤\frac{{3+\sqrt{13}}}{4}$．
（2）当$a=-\frac{1}{2}$时，函数$y=f（{1-x}）-\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}-\frac{b}{x}$有零点，
等价于方程：$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^2}}}{3}+\frac{b}{x}$有实根，$f（{1-x}）=\frac{{{{（{1-x}）}^3}}}{3}+\frac{b}{x}$
可化为：$lnx-{（{1-x}）^2}+（{1-x}）-\frac{b}{x}$=0．
等价于b=xlnxx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x²-x³的值域，
∵函数g（x）=x（lnx+x-x²），
令函数h（x）=lnx+x-x²（x＞0），则$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{{（{2x+1}）（{1-x}）}}{x}$，
∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，从而函数h（x）在（0，1）上为增函数，
当x＞1时，h'（x）＜0，从而函数h（x）在（1，+∞）上为减函数，
因此h（x）≤h（1）=0，而x＞0，∴b=x•h（x）≤0，
故当x=1时，b取得最大值0．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值最值的求法，同时考查转化思想以及计算能力．