Question

11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（-x）+f（x）=x²，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2-m）+f（-m）-m²+2m-2≥0，则实数m的取值范围为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [1，+∞）
• C． [2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 利用构造法g（x）=f（x）-x²，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，∴f（x）-x²+f（-x）=0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
则g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）-x＜0，
故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
故函数g（x）在（-∞，0）上也是减函数，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．
f（2-m）+f（-m）-m²+2m-2≥0，则g（2-m）+$\frac{1}{2}$（2-m）²+f（-m）-$\frac{1}{2}$（-m）²-m²+2m-2≥0，
即g（2-m）+g（-m）≥0，即g（2-m）-g（m）≥0，
∴2-m≤m，解得m≥1
故选：B．

点评 本题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．