Question

1．已知点A（1，1）和B（$\frac{7}{6}$，$\frac{7}{9}$），直线l：ax+by-7=0，若直线l与线段AB有公共点，则a²+b²的最小值为（　　）

• A． 24
• B． $\frac{49}{2}$
• C． 25
• D． $\frac{324}{13}$

Answer 1

分析 直线l经过点A时，可得a+b-7=0；直线l经过点B时，可得$\frac{7}{6}a+\frac{7}{9}b$-7=0，化为：3a+2b-18=0．a²+b²表示点（a，b）到原点O的距离的平方．原点O到直线a+b-7=0的距离d₁．原点O到直线3a+2b-18=0的距离d₂，又${d}_{1}^{2}-{d}_{2}^{2}$＜0，即可得出．

解答 解：直线l经过点A时，可得a+b-7=0；直线l经过点B时，可得$\frac{7}{6}a+\frac{7}{9}b$-7=0，化为：3a+2b-18=0．
a²+b²表示点（a，b）到原点O的距离的平方．原点O到直线a+b-7=0的距离d₁=$\frac{7}{\sqrt{2}}$．原点O到直线3a+2b-18=0的距离d₂=$\frac{18}{\sqrt{13}}$，又${d}_{1}^{2}-{d}_{2}^{2}$=$\frac{49}{2}-\frac{324}{13}$=-$\frac{11}{26}$＜0，∴a²+b²的最小值为$\frac{49}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了直线方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．