Question

10．已知各项不为0的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n³}的前n项和为T_n，且满足T_n=S_n²．
（1）求所有满足条件的有序数组a₁，a₂，a₃；
（2）若a_n＞0，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由T_n=S_n²．可得当n≥2时，${a}_{n}^{3}$=T_n-T_n-1，a_n≠0，解得${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1．
当n≥3时，${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=a_n+a_n-1，可得a_n-a_n-1=1，或a_n+a_n-1=0，
当n=1时，a₁=1．当n=2时，${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}$=$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$，解得a₂=2或-1．即可得出．
（2）由a_n＞0，可得a₁=1，a₂=2，a₃=3．猜想a_n=n．再利用数学归纳法即可证明．

解答 解：（1）∵T_n=S_n²．∴当n≥2时，${a}_{n}^{3}$=T_n-T_n-1=${S}_{n}^{2}$-${S}_{n-1}^{2}$=a_n（S_n+S_n-1），a_n≠0，解得${a}_{n}^{2}$=S_n+S_n-1．
当n≥3时，${a}_{n-1}^{2}$=S_n-1+S_n-2，∴${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$=S_n+S_n-1-（S_n-1+S_n-2）=a_n+a_n-1，
∴a_n-a_n-1=1，或a_n+a_n-1=0，
当n=1时，a₁=1．当n=2时，${a}_{1}^{3}+{a}_{2}^{3}$=$（{a}_{1}+{a}_{2}）^{2}$，即$1+{a}_{2}^{3}$=$（1+{a}_{2}）^{2}$，a₂≠0，
化为${a}_{2}^{2}-{a}_{2}$-2=0，解得a₂=2或-1．
∴a₁=1，a₂=2，a₃=3；或a₁=1，a₂=-1，a₃=-1；或a₁=1，a₂=2，a₃=-2．
（2）∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．猜想a_n=n．
证明：①n=1时成立．
②假设当n=k时，a_k=k成立．
则当n=k+1时，${T}_{k}={S}_{k}^{2}$，${T}_{k+1}={S}_{k+1}^{2}$，${a}_{k+1}^{3}$=${S}_{k+1}^{2}-{S}_{k}^{2}$=a_k+1（S_k+1+S_k），a_k+1≠0，
则${a}_{k+1}^{2}$=S_k+1+S_k．当k≥2时，${a}_{k}^{2}={S}_{k}+{S}_{k-1}$，可得${a}_{k+1}^{2}$-${a}_{k}^{2}$=S_k+1+S_k-（S_k+S_k-1）=a_k+1+a_k＞0，
∴a_k+1-a_k=1，∴a_k+1=k+1成立．
综上可得：a_n=n对于?n∈N^*成立．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数学归纳法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．