Question

20．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=BC=2，BB₁=3，连接BC₁，过B₁作B₁E⊥BC₁交CC₁于点E．
（1）求证：B₁E⊥平面ABC₁；
（2）求三棱锥C₁-B₁D₁E的体积．

Answer 1

分析 （1）由ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，可得AB⊥B₁E，又B₁E⊥BC₁，且AB∩BC₁=B，由线面垂直的判定可得B₁E⊥平面ABC₁；
（2）在长方形BCC₁B₁ 中，由B₁E⊥BC₁，可得△C₁B₁B∽△EC₁B₁，结合已知求得${C}_{1}E=\frac{4}{3}$，得到△B₁C₁E的面积，再由等积法求得三棱锥C₁-B₁D₁E的体积．

解答 （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，又B₁E?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁E，又B₁E⊥BC₁，且AB∩BC₁=B，
∴B₁E⊥平面ABC₁；
（2）解：在长方形BCC₁B₁ 中，由B₁E⊥BC₁，
可得△C₁B₁B∽△EC₁B₁，∵AB=BC=2，BB₁=3，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{B{B}_{1}}$，得${C}_{1}E=\frac{4}{3}$，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}E}=\frac{1}{2}×3×\frac{4}{3}=2$，
∴${V}_{{C}_{1}-{B}_{1}{D}_{1}E}={V}_{{D}_{1}-{B}_{1}{C}_{1}E}$=$\frac{1}{3}×2×2=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．