Question

11．设函数f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；
（2）若函数g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$存在唯一零点，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极小值即可；
（2）令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），设φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x≥0），根据函数的单调性画出函数φ（x）的草图，求出m的范围即可．

解答 解　（1）由题设，当m=e时，f（x）=ln x+$\frac{e}{x}$，
则f′（x）=$\frac{x-e}{x2}$，由f′（x）=0，得x=e．
∴当x∈（0，e），f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减，
当x∈（e，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=ln e+$\frac{e}{e}$=2，
∴f（x）的极小值为2…（4分）
（2）由题设g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{x2}$-$\frac{x}{3}$（x＞0），
令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0）．
设φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x≥0），
则φ′=-x²+1=-（x-1）（x+1），
当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点．
∴φ（x）的最大值为φ（1）=$\frac{2}{3}$．
又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图），

可知
当m=$\frac{2}{3}$时，函数g（x）有且只有一个零点；
当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．
所以，当m=$\frac{2}{3}$或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．