Question

2．已知数列{a_n}的首项为a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比数列，设b_n+2=3log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的首项为a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比数列，a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．可得b_n=3n-2即可证明．
（2）由（1）知：c_n=（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：数列{a_n}的首项为a₁=$\frac{1}{4}$，公比q=$\frac{1}{4}$的等比数列，a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∵b_n+2=3log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*），∴b_n=3n-2是关于n的一次函数，
因此：{b_n}是等差数列，首项为1，公差为3．
（2）由（1）知：c_n=（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
∴S_n=$1×\frac{1}{4}+3×（\frac{1}{4}）^{2}$+$7×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n}$，
$\frac{1}{4}{S}_{n}$=$（\frac{1}{4}）^{2}+3×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（3n-5）$•（\frac{1}{4}）^{n}$+（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$，
两式相减得$\frac{3}{4}$S_n=$\frac{1}{4}+3[（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{3}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n}]$-（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{4}$+3×$\frac{\frac{1}{16}（1-\frac{1}{{4}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{4}}$-（3n-2）$•（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{2}$-（3n+2）×$\frac{1}{{4}^{n+1}}$．
∴S_n=$\frac{2}{3}$-$\frac{12n+8}{3}$×$\frac{1}{{4}^{n+1}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．