Question

17．把离心率e=$\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$称为黄金双曲线．给出以下几个说法：
①双曲线x²-$\frac{{2{y^2}}}{{\sqrt{5}-1}}$=1是黄金双曲线； 
②若双曲线上一点P（x，y）到两条渐近线的距离积等于$\frac{a^3}{c}$，则该双曲线是黄金双曲线；   
③若F₁，F₂为左右焦点，A₁，A₂为左右顶点，B₁（0，b），B₂（0，-b）且∠F₁B₁A₂=90⁰，则该双曲线是黄金双曲线；  
④．若直线l经过右焦点F₂交双曲线于M，N两点，且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，则该双曲线是黄金双曲线；
其中正确命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 ①求出双曲线的离心率即可判断命题正误；
③通过点到直线的距离得出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
③通过∠F₁B₁A₂=90°，转化为a，b，c的关系，求出双曲线的离心率判断正误；
④利用双曲线的简单性质求出离心率，利用黄金双曲线的定义判断正误．

解答 解：对于①，双曲线x²-$\frac{{2{y^2}}}{{\sqrt{5}-1}}$=1中，c²=1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴c=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$，∴离心率e=$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$≠$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴该曲线不是黄金双曲线，①错误；
对于②，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上一点P（x₀，y₀）到两条渐近线y=±$\frac{b}{a}$x的距离积；
∴$\frac{|{bx}_{0}+{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$•$\frac{|{bx}_{0}-{ay}_{0}|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=$\frac{{{{|b}^{2}x}_{0}}^{2}{{{-a}^{2}y}_{0}}^{2}|}{{a}^{2}{+b}^{2}}$=$\frac{a^3}{c}$，
∴$\frac{{{a}^{2}b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{3}}{c}$，即b²=ac，
∴c²-a²-ac=0，化为e²-e-1=0，
又e＞1，解得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，∴该双曲线是黄金双曲线，②正确；
对于③，∵∠F₁B₁A₂=90°，∴${{{|B}_{1}F}_{1}|}^{2}$+${{{|B}_{1}A}_{2}|}^{2}$=${{{|F}_{1}A}_{2}|}^{2}$，
∴b²+c²+b²+a²=（a+c）²，化为c²-ac-a²=0，
由②知该双曲线是黄金双曲线，③正确；
对于④，如图所示，MN经过右焦点F₂且MN⊥F₁F₂，∠MON=90°，
∴NF₂=OF₂，∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=c，∴b²=ac，
由②知该双曲线是黄金双曲线，④正确；
综上，正确命题序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查双曲线性质的灵活运用问题，也考查了a，b，c的关系以及离心率的应用问题，是综合性题目．