Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且$3cosC+\sqrt{3}sinC=\frac{3a}{b}$
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求边c的值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$3cosC+\sqrt{3}sinC=\frac{3a}{b}=\frac{3sinA}{sinB}$，…（2分）
∴$3sinBcosC+\sqrt{3}sinBsinC=3sinA=3sin（B+C）=3sinBcosC+3sinCcosB$，…（4分）
∴3sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB，
∴$\sqrt{3}sinBsinC=3sinCcosB$，∵sinC≠0．
∴$\sqrt{3}sinB=3cosB$，即 $tanB=\sqrt{3}$，∴$B=\frac{π}{3}$． …（6分）
（Ⅱ）由${S_{ΛDBC}}=\frac{1}{2}BC•BD•sinB=\frac{1}{2}•2•BD•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴BD=1，…（8分）
∴在△DBC中，$C{D^2}=B{C^2}+B{D^2}-2BC•BD•cosB=4+1-2•2•1•\frac{1}{2}=3$，…（10分）
∴$AD=CD=\sqrt{3}$，∴$c=AB=AD+BD=\sqrt{3}+1$． …（12分）

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．