Question

18．如图所示，在△ABC中，I为△ABC的内心，AI交BC于D，交△ABC外接圆于E
求证：
（1）IE=EC
（2）IE²=ED•EA．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内心与角平分线的性质、圆的性质即可得出．
（2）利用△ECD∽△EAC即可证明．

解答 证明：（1）连接IC，QI为内心，
∴∠3=∠4，∠1=∠2．
∴∠1=∠5，∴∠5=∠2．
∴∠3+∠2=∠4+∠5．
∴∠EIC=∠ECI，
∴IE=CE．
（2）∵∠E=∠E，∠5=∠2．
∴△ECD∽△EAC，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{AE}{EC}$，
∴CE²=AE•DE．
∴IE²=ED•EA．

点评 本题考查了三角形内心与角平分线的性质、圆的性质、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．