Question

8．2016年皖智教育联盟第一次联考后，为分析数学考试成绩随机抽取20名同学的成绩统计如下：

分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	总计
频数	2	5	8	3	2	20
频率	0.10	0.25	0.40	0.15	0.10	1

（Ⅰ）完成上述表格，并根据上述数据估算这20名职工的平均成绩；
（Ⅱ）若从这20名同学中任选3人，求至少有1人的成绩在90分以上（含90分）的概率；
（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参考同学（假设样本容量为无穷大）中作出这样的测试，且随机抽取3人，记分数在110分以上（含110分）的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，计算频率与频数，填写表格即可，根据上述数据求出这20名职工的平均成绩；
（Ⅱ）用对立事件的概率求出至少有1人的成绩在90分以上（含90分）的概率；
（Ⅲ）以题意，X～B（3，$\frac{1}{4}$），计算对应的概率，写出分布列与数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，填写表格如下：

分数段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150]	总计
频数	2	5	8	3	2	20
频率	0.10	0.25	0.40	0.15	0.10	1

根据上述数据计算这20名职工的平均成绩为
60×0.10+80×0.25+100×0.40+120×0.15+130×0.10=98；
（Ⅱ）若从这20名同学中任选3人，至少有1人的成绩在90分以上（含90分）的概率为
P=1-$\frac{{C}_{7}^{3}}{{C}_{20}^{3}}$=$\frac{221}{228}$；
（Ⅲ）以题意，X～B（3，$\frac{1}{4}$），
所以P（X=0）=${（\frac{3}{4}）}^{3}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$•$\frac{1}{4}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$=$\frac{27}{64}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{4}）}^{2}$•$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（X=3）=${（\frac{1}{4}）}^{3}$=$\frac{1}{64}$；
所以X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

X的数学期望是EX=3×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．