Question

18．已知过T（3，-2）的直线l与抛物线y²=4x交于P，Q两点，点A（1，2）
（1）若直线l的斜率为1，求弦PQ的长
（2）证明直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）根据弦长公式即可求出答案，
（2）分斜率存在和不存在两种情况，根据韦达定理和直线的斜率的定义即可求出定值．

解答 解：（1）由已知得，直线l的方程为y+2=x-3即y=x-5
联立方程，$\left\{\begin{array}{l}y=x-5\\{y^2}=4x\end{array}\right.$化简求解知x²-14x+25=0
设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）所以x₁+x₂=14x₁x₂=25
所以$|PQ|=\sqrt{1+1}\sqrt{{{14}^2}-4×25}=8\sqrt{3}$
（2）当直线l的斜率存在时，设斜率为k的方程为y+2=k（x-3）
联立方程，$\left\{\begin{array}{l}y=kx-3k-2\\{y^2}=4x\end{array}\right.$化简的k²x²-（6k²+4k+4）x+9k²+12k+4=0
设P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
所以     ${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}+4k+4}}{k^2}$${x_1}{x_2}=\frac{{9{k^2}+12k+4}}{k^2}$
同理知    ${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$${y_1}•{y_2}=\frac{-12k-8}{k}$
所以直线AP与直线AQ的斜率乘积为$m=\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$
所以m=-2
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=3联立 $\left\{\begin{array}{l}x=3\\{y^2}=4x\end{array}\right.$$P（3\;，\;2\sqrt{3}）$$Q（3\;，\;-2\sqrt{3}）$，
所以直线AP与直线AQ的斜率乘积为$m=\frac{{2\sqrt{3}-2}}{3-1}•\frac{{-2\sqrt{3}-2}}{3-1}=-2$
证明直线AP与直线AQ的斜率乘积恒为定值，该定值为-2．

点评 本题考查弦长公式，考查两直线的位置关系，是中档题，解题时要注意弦长公式的合理运用．