Question

9．已知函数f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，判断a-b是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．
（Ⅲ）求方程f[f（x）]=x的所有解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，令f′（x）=0时，求得可能的极值点，根据函数单调性与导数的关系，即可求得函数f（x）极值；
（Ⅱ）求得切点，求得切线方程，则$a-b=\frac{e（1-t）}{e^t}-\frac{{e{t^2}}}{e^t}=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$，构造辅助函数，求导，根据导数与函数单调性的关系，函数的F（t）的极大值为F（-1）=e²即为a-b的最大值；
（Ⅲ）设m是方程f[f（x）]=x的解，即f[f（m）]=m，由k_AB=-1，则函数f（x）的最大值是1，且f（m）≠m，则$\left\{\begin{array}{l}f（n）=m＜1\\ f（m）=n＜1\end{array}\right.$，根据函数的单调性，即可求得方程f[f（x）]=x的所有解．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：f′（x）=$\frac{e（1-x）}{{e}^{x}}$；…（1分）
当f′（x）=0时，得x=1；
当f′（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（-∞，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（3分）
（Ⅱ）设函数f（x）的切点为$P（t，\frac{et}{e^t}）$，t∈R．
显然该点处的切线为：$y-\frac{et}{e^t}=\frac{e（1-t）}{e^t}（x-t）$，即为$y=\frac{e（1-t）}{e^t}x+\frac{{e{t^2}}}{e^t}$；…（4分）
可得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{e（1-t）}{e^t}\\ b=\frac{{e{t^2}}}{e^t}\end{array}\right.$，则$a-b=\frac{e（1-t）}{e^t}-\frac{{e{t^2}}}{e^t}=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；
设函数$F（t）=a-b=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；…（5分）
其导函数为$F'（t）=\frac{{e（{t^2}-t-2）}}{e^t}$，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜-1或t＞2，
故函数F（t）在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增；
当F'（t）＜0时，得-1＜t＜2，故函数F（t）在区间（-1，2）上单调递减；
函数的F（t）的极大值为F（-1）=e²＞0，F（t）的极小值为$F（2）=-\frac{5}{e}＜0$．…（7分）
显然当t∈（-∞，2）时，F（t）≤F（-1）恒成立；
而当t∈（2，+∞）时，$F（t）=e×\frac{{-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}}}{e^t}$，
其中e^t＞0，$-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}＜-（2+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}=-5＜0$，得F（t）＜0；…（8分）
综上所述，函数的F（t）的极大值为F（-1）=e²即为a-b的最大值．…（9分）
（Ⅲ）设m是方程f[f（x）]=x的解，即f[f（m）]=m；
当f（m）=m时，即$\frac{em}{e^m}=m$，可得m=0或m=1；…（11分）
当f（m）≠m时，设f（m）=n，且n≠m．
此时方程f[f（m）]=m，得f（n）=m；
所以两点A（m，n），B（n，m）都在函数f（x）的图象上，且k_AB=-1；…（12分）
因为函数f（x）的最大值是1，且f（m）≠m，所以$\left\{\begin{array}{l}f（n）=m＜1\\ f（m）=n＜1\end{array}\right.$，
因为函数f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，两点A（m，n），B（n，m）的横坐标都在区间（-∞，1）上，显然k_AB＞0；    …（13分）
这与k_AB=-1相矛盾，此种情况无解；…（14分）
综上，方程f[f（x）]=x的解x=0和x=1．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及最值得关系，考查转化思想，属于中档题．