Question

6．已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（0，4），顶点在x轴上，且对称轴在y轴的右侧．设直线y=x与二次函数的图象自左向右分别交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两点，OP：PQ=1：3．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△PAQ的面积．

Answer 1

分析 （1）用b表示出a，联立方程组消去y，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{OP}{OQ}=\frac{1}{4}$，从而得出a的值；
（2）求出P、Q的坐标计算AQ，P到AQ的距离即可得出三角形的面积．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（0，4），顶点在x轴上，
∴c=4，b²-4ac=b²-16a=0，∴a=$\frac{{b}^{2}}{16}$＞0，
又二次函数的对称轴在y轴右侧，∴-$\frac{b}{2a}$＞0，∴b=-4$\sqrt{a}$．
∴y=ax²-4$\sqrt{a}$x+4，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=a{x}^{2}-4\sqrt{a}x+4}\end{array}\right.$得ax²-（4$\sqrt{a}$+1）x+4=0，
∴x₁=$\frac{4\sqrt{a}+1-\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{2a}$，x₂=$\frac{4\sqrt{a}+1+\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{2a}$，
∵OP：PQ=1：3．∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{4\sqrt{a}+1-\sqrt{8\sqrt{a}+1}}{4\sqrt{a}+1+\sqrt{8\sqrt{a}+1}}$=$\frac{1}{4}$，解得a=1，∴b=-4．
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+4．
（2）由（1）可知x₁=y₁=1，x₂=y₂=4，
∴AQ=4，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}×4×（4-1）$=6．

点评 本题考查了二次函数的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．