Question

15．已知△PDQ中，A，B分别为边PQ上的两个三等分点，BD为底边PQ上的高，AE∥DB，如图1，将△PDQ分别沿AE，DB折起，使得P，Q重合于点C．AB中点为M，如图2．
（Ⅰ）求证：CM⊥EM；
（Ⅱ）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B-CD-E的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出△ABC是等边三角形，从而CM⊥AB，再由DB⊥AB，DB⊥BC，知DB⊥平面ABC，又EA∥DB，从而EA⊥平面ABC，进而CM⊥EA．由此CM⊥平面EAM．进而能证明CM⊥EM．
（Ⅱ）以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M-xyz．利用向量法能求出二面角B-CD-E的平面角．

解答 证明：（Ⅰ）因为A，B是PQ的三等分点，
所以PA=AB=BQ=CA=CB，
所以△ABC是等边三角形，又因为M是AB的中点，所以CM⊥AB．
因为DB⊥AB，DB⊥BC，AB∩BC=B，
所以DB⊥平面ABC，又EA∥DB，
所以EA⊥平面ABC，
CM?平面ABC，所以CM⊥EA．
因为AM∩EA=A，所以CM⊥平面EAM．
因为EA?平面EAM，所以CM⊥EM．
解：（Ⅱ）以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，
过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M-xyz．
因为DB⊥平面ABC，
所以∠DMB为直线DM与平面ABC所成角．
由题意得tan$∠DMB=\frac{BD}{MB}=2$，即BD=2MB，
从而BD=AC．不防设AC=2，又AC+2AE，则CM=$\sqrt{3}$，AE=1．
故B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1）．
于是$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，-1，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设平面BCD与平面CDE的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=-\sqrt{3}a-b+c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-\sqrt{3}a+b+2c=0}\end{array}\right.$，令a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=0．
所以二面角B-CD-E的平面角大小为90°．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查等价转化思想、数形结合思想，考查空间思维能力，是中档题．