Question

5．函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$有极大值和极小值，则实数a取值范围是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先求导函数，根据函数f（x）既有极大值又有极小值，可得f′（x）=0有两个不等的实数根，从而可求实数a的取值范围．

解答 解：求导函数可得，f′（x）=x²+2ax+1，
∵函数f（x）既有极大值又有极小值，
∴f′（x）=x²+2ax+1=0有两个不等的实数根，
∴△=4a²-4＞0，
∴a＞1或a＜-1，
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查解不等式，属于基础题．