Question

4．已知函数f（x）定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列关于函数f（x）的命题：
①函数f（x）的极大值点有2个；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，则t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中是真命题的是①②．（填写序号）

Answer 1

分析 先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．

解答 解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：
由图得：∵f（x）的极大值点有2个，故①为真命题；
②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；
由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，
若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；
④由于f（3）未知，故当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点，不正确．
故答案为①②．

点评 本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．