Question

15．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（　　）

• A． 5π
• B． 25π
• C． 50π
• D． 100π

Answer 1

分析 根据三视图知几何体是三棱锥为长方体的一部分，画出直观图和长、宽、高，由长方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该三棱锥外接球的表面积．

解答 解：根据三视图知几何体是：三棱锥P-ABC为长方体的一部分，
且长、宽、高分别是4、3、5，直观图如图所示：
则长方体的外接球和该三棱锥外接球相同，
设该三棱锥外接球的半径为R，
由长方体的性质可得，2R=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{50}$，
即R=$\frac{\sqrt{50}}{2}$，
所以该三棱锥外接球的表面积S=$4π×（\frac{\sqrt{50}}{2}）^{2}$=50π，
故选C．

点评 本题考查由三视图求几何体外接球的表面积，在三视图与直观图转化过程中，以一个长方体为载体是很好的方式，使得作图更直观，考查空间想象能力．