Question

7．设f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）．
（1）求f（x）的单增区间和$f（\frac{π}{8}）$的值；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若f（$\frac{A}{2}$）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．（参考公式：m²+n²≥2mn）

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，可得$f（\frac{π}{8}）$的值；再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单增区间．
（2）利用余弦定理、基本不等式，求得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-cos²（x+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1+cos（2x+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$=sin2x-$\frac{1}{2}$，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，
可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
f（$\frac{π}{8}$）=sin$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
（2）在锐角△ABC中，若f（$\frac{A}{2}$）=sinA-$\frac{1}{2}$=0，
则sinA=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
∵a=1，由余弦定理可得a²=1=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，
即bc≤1，当且仅当b=c时，取等号．
故△ABC面积为$\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{4}$bc≤$\frac{1}{4}$，
即△ABC面积的最大值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．