Question

2．设函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$
（Ⅰ）当a=-5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要使函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$有意义，则|x+1|+|x-2|-5≥0．然后对x分类讨论去绝对值求解；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R，则|x+1|+|x-2|+a≥0恒成立．即|x+1|+|x-2|≥-a恒成立．构造函数h（x）=|x+1|+|x-2|，写出分段函数解析式，求出最小值得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=-5时，要使函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-2|+a}$有意义，
则|x+1|+|x-2|-5≥0．
①当x≤-1时，原不等式可化为-x-1-x+2-5≥0，即x≤-2；
②当-1＜x＜2时，原不等式可化为x+1-x+2≥5，即3≥5，显然不成立；
③当x≥2时，原不等式可化为x+1+x-2≥5，即x≥3．
综上所求函数的定义域为（-∞，-2]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为R，则|x+1|+|x-2|+a≥0恒成立．
即|x+1|+|x-2|≥-a恒成立．
构造函数h（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{1-2x，x≤-1}\\{3，-1＜x＜2}\\{2x-1，x≥2}\end{array}\right.$，求得函数的最小值为3．
∴a≥-3．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，是中档题．