Question

13．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，b=$\sqrt{2}$且（sinA+sinB）（a-$\sqrt{2}$）=（c-$\sqrt{2}$）sinC，则A=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （sinA+sinB）（a-$\sqrt{2}$）=（c-$\sqrt{2}$）sinC，b=$\sqrt{2}$，由正弦定理可得：（a+b）（a-$\sqrt{2}$）=（c-$\sqrt{2}$）c，b²+c²-a²=bc．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵（sinA+sinB）（a-$\sqrt{2}$）=（c-$\sqrt{2}$）sinC，b=$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得：（a+b）（a-$\sqrt{2}$）=（c-$\sqrt{2}$）c，∴a²-b²=c²-bc，
即b²+c²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．