Question

3．在△ABC中，已知c=2，若sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，则a+b的取值范围（2，4]．

Answer 1

分析 sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，由余弦定理可得：a²+b²-ab=c²，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解出a，b代入a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：∵sin²A+sin²B-sinAsinB=sin²C，由余弦定理可得：a²+b²-ab=c²，
可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinC}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB，B=$\frac{2π}{3}$-A．
则a+b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=4sin$（A+\frac{π}{6}）$，
A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，∴$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，∴sin$（A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$，
∴a+b∈（2，4]．
故答案为：（2，4]．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．