Question

8．已知直线$y=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$和椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 由题意求得M点坐标，将M代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
则$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×c，则3b²=2$\sqrt{3}$ac，即3c²+2$\sqrt{3}$ac-3a²=0，两边同除以a²，
整理得：3e²+2$\sqrt{3}$e-3=0，解得：e=-$\sqrt{3}$或e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由0＜e＜1，
故e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．