Question

20．在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$．
（Ⅰ）求角C的大小； 
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{CA}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$|=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$，由正弦定理可得：$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{b}{a+c}$，化简利用余弦定理即可得出．（Ⅱ）取 BC中点D，则$|{\overrightarrow{C{A}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{C{B}}}|=2=|{\overrightarrow{D{A}}}|$，在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2 AC•CDcosC，化简利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$，由正弦定理可得：$\frac{a-c}{a-b}$=$\frac{sin（A+C）}{sinA+sinC}$=$\frac{sinB}{sinA+sinC}$=$\frac{b}{a+c}$，化为：a²-c²=ab-b²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，C∈（0，π）．
∴$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）取 BC中点D，则$|{\overrightarrow{C{A}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{C{B}}}|=2=|{\overrightarrow{D{A}}}|$，
在△ADC中，AD²=AC²+CD²-2 AC•CDcosC，
即$4={b^2}+{（{\frac{a}{2}}）^2}-\frac{ab}{2}$$≥2\sqrt{\frac{{{a^2}{b^2}}}{4}}-\frac{ab}{2}=\frac{ab}{2}$，
∴ab≤8，当且仅当a=4，b=2时取等号．
此时${S_{△{A}{B}C}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{{\sqrt{3}}}{4}ab$，其最大值为$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．