Question

9．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，请你补充一个条件①（或③），使平面MBD⊥平面PCD．①DM⊥PC ②DM⊥BM③BM⊥PC ④PM=MC（填写你认为是正确的条件对应的序号）．

Answer 1

分析 由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．由此得到当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．

解答 解：∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，
M是PC上的一动点，
∴BD⊥PA，BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．
∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．
而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．
故答案为：①（或③）．

点评 本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．