Question

11．某校高三（5）班的一次数学小测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答如下问题：

（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高；
（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任选三份来分析学生失分情况，其中u表示分数在[80，90]之间被选上的人数，v表示分数在之[90，100]间被选上的人数，记变量ξ=u-v，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图、频率分布直方图，分别求出分数在[50，60）之间的频数和频率，由此能求出全班人数，进而能求出分数在[80，90）之间的频数，由此能求出频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高．
（2）μ=3，v=0时，ξ=3，P（ξ=3）=$\frac{1}{5}$，μ=2，v=1时，ξ=1，P（ξ=1）=$\frac{3}{5}$，μ=1，v=2时，ξ=-1，P（ξ=-1）=$\frac{1}{5}$，由此能求出ξ的分布列和期望．

解答 解：（1）由茎叶图、频率分布直方图，知：
分数在[50，60）之间的频率为2，频率为0.008×10=0.08，
∴全班人数为：$\frac{2}{0.08}=25$，
∴分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4，
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为$\frac{4}{25}÷10$=0.016．
（2）μ=3，v=0时，ξ=3，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
μ=2，v=1时，ξ=1，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
μ=2，v=2时，ξ=-1，P（ξ=-1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	-1	1	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

E（ξ）=（-1）×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=1．

点评 本题考查茎叶图、频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．