Question

16．已知点G是△ABC的重心，过G作BC的平行线与AB，AC分别交于点E，F，若$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，则$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$．

Answer 1

分析 如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG=2GP，则AG：AP=2：3．又EF∥BC，根据相似三角形的判定可知△AGF∽△APC，得出AF：AC=2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从而求出EF：BC=AF：AC=2：3，问题得以解决．

解答 解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG=2GP，
∴AG：AP=2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC=AG：AP=2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴EF：BC=AF：AC=2：3．
∵$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$
故答案为：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$

点评 此题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质，三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似，相似三角形的三边对应成比例，以及向量的知识．