Question

18．设a＞0，函数f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，g（x）=x-lnx，若对任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数a的取值范围为a≥$\sqrt{e-2}$．

Answer 1

分析 先对函数g（x）求导判断出函数g（x）的单调性并求其最大值，然后对函数f（x）进行求导判断单调性求其最小值，最后令函数f（x）的最小值大于等于函数g（x）的最大值即可．

解答 解：∵g（x）=x-lnx，∴g'（x）=1-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e]，
g'（x）≥0，函数g（x）单调递增，
g（x）的最大值为g（e）=e-1
∵f（x）=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，
∴f'（x）=$\frac{{x}^{2}-{a}^{2}}{{x}^{2}}$，令f'（x）=0，∵a＞0，∴x=a
当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，f（1）_最小=1+a²≥e-1，∴1＞a≥$\sqrt{e-2}$
当1≤a≤e 列表可知 f（a）_最小=2a≥e-1 恒成立
当a＞e时 f（x）在[1，e]上单调减 f（e）_最小=$\frac{{e}^{2}+{a}^{2}}{e}$≥e-1 恒成立
综上a≥$\sqrt{e-2}$
故答案为：a≥$\sqrt{e-2}$．

点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．