Question

13．如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积；
（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A₁ACC₁，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．
（2）点P与A₁重合时，连结AD，CD，A₁D，推导出四边形A₁B₁CD是平行四边形，从而A₁D∥B₁C，由此得到DP∥平面AB₁C．

解答 解：（1）取AC中点O，连结AO，BO，
∵在各棱长均为2的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁⊥底面ABC．
∴BO⊥面A₁ACC₁，∴BO⊥AO，A₁C=A₁A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，
∴AO=BO=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
V=S_△ABC•AO=$\frac{1}{2}×AC×BO×AO$=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．
（2）点P与A₁重合时，DP∥平面AB₁C．
证明如下：
连结AD，CD，A₁D，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴A₁B₂$\underset{∥}{=}$AB$\underset{∥}{=}$CD，
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，∴A₁D∥B₁C，
∵B₁C?平面AB₁C，A₁D?平面AB₁C，∴A₁D∥平面AB₁C，
∴DP∥平面AB₁C．

点评 本题考查三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．