Question

4．已知$\overrightarrow{m}$=（2$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{n}$=（cos²$\frac{A}{2}$，sinA），A，B，C是△ABC的内角．
（1）当A∈（0，$\frac{π}{2}$）时，求|$\overrightarrow{n}$|的取值范围；
（2）若C=$\frac{2π}{3}$，AB=3，当$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值时，求A的大小及边BC的长．

Answer 1

分析 （1）当A∈（0，$\frac{π}{2}$）时，|$\overrightarrow{n}$|²=（$\frac{1+cosA}{2}$）²+sin²A=$-\frac{3}{4}（cosA-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}$，即可求|$\overrightarrow{n}$|的取值范围；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$+sinA=$\sqrt{3}$cosA+sinA+$\sqrt{3}$=2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，当A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值，利用正弦定理求出边BC的长．

解答 解：（1）$\overrightarrow{n}$=（cos²$\frac{A}{2}$，sinA）=（$\frac{1+cosA}{2}$，sinA），
∴|$\overrightarrow{n}$|²=（$\frac{1+cosA}{2}$）²+sin²A=$-\frac{3}{4}（cosA-\frac{1}{3}）^{2}$+$\frac{1}{3}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），∴cosA∈（0，1），
∴|$\overrightarrow{n}$|的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2$\sqrt{3}$cos²$\frac{A}{2}$+sinA=$\sqrt{3}$cosA+sinA+$\sqrt{3}$=2sin（A+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，
∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），∴A+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{6}$时，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$取最大值2+$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得$\frac{BC}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{3}{sin\frac{2π}{3}}$，∴BC=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角函数知识的运用，考查正弦定理，属于中档题．