Question

15．在公比为正数的等比数列{a_n}中，a₃-a₁=$\frac{16}{27}$，a₂=-$\frac{2}{9}$，数列{b_n}的前n项和S_n=n²．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n，利用数列递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₃-a₁=$\frac{16}{27}$，a₂=-$\frac{2}{9}$，∴${a}_{1}{q}^{2}-{a}_{1}$=$\frac{16}{27}$，a₁q=-$\frac{2}{9}$．
可得q=$\frac{1}{3}$或q=-3（舍去），则a₁=-$\frac{2}{3}$．
∴a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∵S_n=n²，∴b₁=S₁=1．
n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
  当n=1时，b₁=1也符合上式．
∴b_n=2n-1．
综上，a_n=-$\frac{2}{3}$×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，b_n=2n-1．
（2）由（1）知：a_nb_n=-2（2n-1）$（\frac{1}{3}）^{n}$．
∴T_n=-2$[\frac{1}{3}+3×（\frac{1}{3}）^{2}+5×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（2n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n}]$…①
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=-2$[（\frac{1}{3}）^{2}+3（\frac{1}{3}）^{3}$+…+（2n-3）$（\frac{1}{3}）^{n}$+（2n-1）$•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$…②
①-②得：$\frac{2}{3}{T}_{n}$=-2$[\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}+2×（\frac{1}{3}）^{3}$+…+2×$（\frac{1}{3}）^{n}$-（2n-1）×$（\frac{1}{3}）^{n+1}]$=-2$[\frac{2}{3}-（2n+2）•（\frac{1}{3}）^{n+1}]$，
∴T_n=-2+（2n+2）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．