Question

10．已知函数f（x）=$\frac{ex}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求a-b的最大值；
（Ⅲ）若方程f（x）=m存在两个实数根x₁，x₂，且x₁+x₂=2x₀．
①求证：0＜m＜1；
②问：函数f（x）图象上在点（x₀，f（x₀））处的切线是否能平行x轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）设出函数的切点，求出a-b，设函数$F（t）=a-b=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$，根据函数的单调性求出F（-1）的值，从而求出a-b的最大值即可；
（Ⅲ）①求出x₁＜1＜x₂，得到0=f（0）＜f（x₁）=f（x₂）=m＜f（1）=1即可；
②由于0＜x₁＜1＜x₂，则2-x₁＞1，设函数G（x）=f（2-x）-f（x）=$\frac{e（2-x）}{{e}^{2-x}}$-$\frac{ex}{{e}^{x}}$，0＜x＜1，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为：$f'（x）=\frac{e（1-x）}{e^x}$；…（1分）
当f'（x）=0时，得x=1；
当f'（x）＞0时，得x＜1，故函数f（x）在区间（-∞，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，得x＞1，故函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减；
所以函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）=1．…（3分）
（Ⅱ）设函数f（x）的切点为$P（t，\frac{et}{e^t}）$，t∈R．
显然该点处的切线为：$y-\frac{et}{e^t}=\frac{e（1-t）}{e^t}（x-t）$，即为$y=\frac{e（1-t）}{e^t}x+\frac{{e{t^2}}}{e^t}$；…（4分）
可得：$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{e（1-t）}{e^t}\\ b=\frac{{e{t^2}}}{e^t}\end{array}\right.$，则$a-b=\frac{e（1-t）}{e^t}-\frac{{e{t^2}}}{e^t}=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；
设函数$F（t）=a-b=\frac{{e（-{t^2}-t+1）}}{e^t}$；…（5分）
其导函数为$F'（t）=\frac{{e（{t^2}-t-2）}}{e^t}$，显然函数当F'（t）＞0时，得t＜-1或t＞2，
故函数F（t）在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递增；
当F'（t）＜0时，得-1＜t＜2，故函数F（t）在区间（-1，2）上单调递减；
函数的F（t）的极大值为F（-1）=e²＞0，F（t）的极小值为$F（2）=-\frac{5}{e}＜0$．…（7分）
显然当t∈（-∞，2）时，F（t）≤F（-1）恒成立；
而当t∈（2，+∞）时，$F（t）=e×\frac{{-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}}}{e^t}$，
其中e^t＞0，$-（t+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}＜-（2+\frac{1}{2}{）^2}+\frac{5}{4}=-5＜0$，得F（t）＜0；…（8分）
综上所述，函数的F（t）的极大值为F（-1）=e²即为a-b的最大值．…（9分）
（Ⅲ）①由于函数f（x）在区间（-∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；
所以x₁＜1＜x₂，…（10分）
显然当x＜0时，f（x）＜0；当0＜x＜1和x＞1时，f（x）＞0；
得0＜x₁＜1＜x₂，0=f（0）＜f（x₁）=f（x₂）=m＜f（1）=1．…（11分）
②由于0＜x₁＜1＜x₂，则2-x₁＞1，
设函数G（x）=f（2-x）-f（x）=$\frac{e（2-x）}{{e}^{2-x}}$-$\frac{ex}{{e}^{x}}$，0＜x＜1；…（12分）
其导函数为G′（x）=$\frac{（1-x）{（e}^{x}-e）{（e}^{x}+e）}{{e}^{x+1}}$＜0；
故函数在区间（0，1）上单调递减，且G（1）=0，0＜x₁＜1；
所以G（x₁）=f（2-x₁）-f（x₁）＞0，即f（2-x₁）＞f（x₁）；
同时f（x₁）=f（x₂）=m，从而f（2-x₁）＞f（x₂）；
由于2-x₁＞1，x₂＞1，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，
得2-x₁＜x₂，即x₁+x₂＞2． …（13分）
所以x₀＞1，f′（x₀）=$\frac{e（1{-x}_{0}）}{{e}^{{x}_{0}}}$＜0，
函数f（x）图象上在点（x₀，f（x₀））处的切线斜率恒小于0，在点（x₀，f（x₀））处不存在切线平行x轴．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．