Question

2．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知E为棱CC₁上的动点．
（1）求证：A₁E⊥BD；
（2）是否存在这样的E点，使得平面A₁BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AC∩DB=O，连接A₁O，OE．证明A₁A⊥BD，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACEA₁，然后证明A₁E⊥BD．
（2）当E是CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面EBD．说明∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角．设棱长为2a，推出∠A₁OE=90°．即可证明平面A₁BD⊥平面EBD．

解答 解：连接AC，设AC∩DB=O，连接A₁O，OE．
（1）∵A₁A⊥底面ABCD，∴A₁A⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面ACEA₁，∵A₁E?平面ACEA₁，
∴A₁E⊥BD．
（2）证明：当E是CC₁的中点时，平面A₁BD⊥平面EBD．
证明如下：
∵A₁B=A₁D，EB=ED，O为BD中点，∴A₁O⊥BD，EO⊥BD
∴∠A₁OE为二面角A₁-BD-E的平面角．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，设棱长为2a，
∵E为棱CC₁的中点，由平面几何知识，EO=$\sqrt{3}$a，A₁O=$\sqrt{6}$a，A₁E=3a，
∴A₁E²=A₁O²+EO²，即∠A₁OE=90°．
∴平面A₁BD⊥平面EBD．

点评 本题考查直线与直线垂直，直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的证明方法，考查空间想象能力以及计算能力．