Question

13．如图是一几何体的直观图、主观图、俯视图、左视图．
（1）求该几何体的体积V；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）求平面PEC与平面PDA所成的二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）判断几何体底面ABCD是边长为4的正方形，四边形APEB是直角梯形，求出底面面积以及高，转化求解几何体的体积即可．
（2）取PC的中点F，连接BD与AC交于点M，连接FM，EF．证明EF∥BM，推出BD∥平面PEC．
（3）以BC，BA，BE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面PDA的一个法向量．平面PEC的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．

解答 （1）解：由三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，四边形APEB是直角梯形，PA⊥平面ABCD，CB⊥平面APEB，PA=AB=2EB=4，CB=4．连接AC，∴$V={V}_{P-ACD}+{V}_{C-PAEB}=\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•PA+\frac{1}{3}{S}_{APEB}•CB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}A{D}^{2}•PA+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（EB+PA）•AB•CB=\frac{80}{3}$．
（2）证明：如图，取PC的中点F，连接BD与AC交于点M，连接FM，EF．
∴$FM∥PA，FM=\frac{1}{2}PA$，∴FM∥EB，FM=EB，
故四边形BMFE为平行四边形，∴EF∥BM，
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，∴BD∥平面PEC．

（3）解：如图，分别以BC，BA，BE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则C（4，0，0），E（0，0，2），A（0，4，0），p（0，4，4），
∴$\overrightarrow{BA}=（0，4，0）$为平面PDA的一个法向量．
设平面PEC的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}}\right.∴\left\{{\begin{array}{l}{z=2x}\\{-x+y+z=0}\end{array}}\right.$，
令x=1，∴$\overrightarrow n=（1，-1，2）$，∴$cos＜\overrightarrow{BA}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{BA}}||{\overrightarrow n}|}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴平面PEC与平面PDA所成的二面角（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行以及几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．