Question

4．设数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$，a≠0，n∈N^•．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明：数列{a_n}为递增数列；
（Ⅲ）证明：$\frac{n}{2n+1}$≤a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^•．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用首项和递推式，可得a₂，a₃；
（Ⅱ）运用a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，作差累加即可得证；
（Ⅲ）利用a_n+1＞a_n、放缩可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，通过叠加可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-[$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}}$]，n≥2，利用$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，并项相加可知a_n＜$\frac{2n-1}{2n+1}$，；利用a_n＜1放缩可知a_n+1＜a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，进而$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，通过叠加可知$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]，利用$\frac{1}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加可知a_n≥$\frac{n}{2n+1}$．

解答 （1）解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^•．
∴a₂=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{4}{9}$，a₃=a₂+$\frac{{a}_{2}^{2}}{2}$=$\frac{4}{9}$+$\frac{1}{4}$•（$\frac{4}{9}$）²=$\frac{40}{81}$．
（II）证明：∵a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^•，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，n∈N^•，
∴a₂-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$，a₃-a₂=$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$，…，a_n-a_n-1=$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$，
累加可得a_n-a₁=$\frac{{a}_{1}^{2}}{{1}^{2}}$+$\frac{{a}_{2}^{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}^{2}}{（n-1）^{2}}$≥0，
∴a_n≥a₁＞0
∴数列{a_n}为正项数列，
∴a_n+1＞a_n恒成立，
∴a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，
∴数列{a_n}为递增数列；
（Ⅲ）证明：先证a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，
n=1时显然成立．
易知a_n＞0，a_n+1-a_n=$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，
∴a_n+1＞a_n，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{{n}^{2}}$，
两端同时除以a_na_n+1，得：$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＞-$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＞-$\frac{1}{（n-1）^{2}}$，
…$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-$\frac{1}{{1}^{2}}$，
叠加得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-[$\frac{1}{（n-1）^{2}}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}}$]，n≥2．
又∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＞-（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$+…+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{1}^{2}}$）=-（2-$\frac{1}{n-1}$）=$\frac{1}{n-1}$-2，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＞$\frac{1}{n-1}$-2，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{n-1}$-2+3=1+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$
∴a_n＜$\frac{n-1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$＜1-$\frac{2}{2n+1}$=$\frac{2n-1}{2n+1}$；
再证a_n≥$\frac{n}{2n+1}$．
又a₁=$\frac{1}{3}$≥$\frac{1}{2+1}$，
∵a_n＜1，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＜a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$，
∴a_n＞$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1，
∴a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$
=a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$•a_n
＞a_n+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$•$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}+1}$•a_n+1
=a_n+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$•a_n•a_n+1，
两端同时除以a_na_n+1，得：$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$＜-$\frac{1}{{n}^{2}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$＜-$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$，
…$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-$\frac{1}{{1}^{2}+1}$，
叠加得：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]，
又∵$\frac{1}{{n}^{2}+1}$＞$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$＜-[$\frac{1}{{n}^{2}+1}$+$\frac{1}{（n-1）^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{1}^{2}+1}$]
＜-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$+…+1-$\frac{1}{2}$）
=-（1-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-3＜-（1-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＜3-1+$\frac{1}{n}$=$\frac{2n+1}{n}$，
∴a_n≥$\frac{n}{2n+1}$．
则$\frac{n}{2n+1}$≤a_n≤$\frac{2n-1}{2n+1}$，n∈N^•．

点评 本题是一道关于数列递推关系的综合题，考查运算求解能力，利用放缩法和裂项是解决本题的关键，难度较大，注意解题方法的积累，属于难题．