Question

14．为了废物利用，准备把半径为2，圆心角为$\frac{π}{3}$的扇形铁片余料剪成如图所示的内接矩形ABCD．试用图中α表出内接矩形ABCD的面积S．

Answer 1

分析 先用所给的角表示AB，BC，即可将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型．

解答 解：如图，在Rt△OBC中，OB=2cosα，BC=2sinα，
在Rt△OAD中，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
所以AB=OB-OA=2cosα-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=（2cosα-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinα）•2sinα=4sinαcosα-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin²α
=2sin2α+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos2α-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2α+$\frac{1}{2}$cos2α）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（0＜α＜$\frac{π}{3}$）．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．