Question

9．已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=sinx（-π＜x＜0）上的两个不同点，且x₁＜x₂，则对于下列四个不等式：
①$\frac{{sin{x_1}}}{x_1}＜\frac{{sin{x_2}}}{x_2}$；
②sinx₁＜sinx₂；
③$\frac{1}{2}（{sin{x_1}+sin{x_2}}）＞sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
④$sin\frac{x_1}{2}＞sin\frac{x_2}{2}$．
其中正确不等式的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 对于①根据斜率公式判断即可，对于②根据函数的单调性判断即可，对于③④根据正弦函数的图象和性质判断即可

解答 解：①由于$\frac{sin{x}_{1}}{{x}_{1}}$表示直线OA的斜率，$\frac{sin{x}_{2}}{{x}_{2}}$表示直线OB的斜率，A在第三象限时，与原点连线斜率为正，B在第四象限时，与原点所连直线斜率为负，
故①不正确；
②由于函数y=sinx（-π＜x＜0）的单调性不确定，故由x₁＜x₂，不能推出①sinx₁＜sinx₂ ． 故②sinx₁＜sinx₂ ，不一定成立．
③由于函数y=sinx的图象在（-$\frac{π}{2}$，0）上是下凹型的，而$\frac{1}{2}$（sinx₁+sinx₂）表示线段AB中点的纵坐标，故有③$\frac{1}{2}（{sin{x_1}+sin{x_2}}）＞sin\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$；
成立．
④由题意可得-$\frac{π}{2}$＜$\frac{{x}_{1}}{2}$＜$\frac{{x}_{2}}{2}$＜0，而函数y=sinx在（-$\frac{π}{2}$，0）上是增函数，故有sin$\frac{{x}_{1}}{2}$＜sin$\frac{{x}_{2}}{2}$成立，故④不正确．
故③正确．
故选：B．

点评 本题主要正弦函数的单调性，线段的中点公式以及直线的斜率公式的应用，属于基本知识的考查．