Question

17．设实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥-1}\end{array}}\right.$，则z=2x+y的最大值与最小值的和6．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+z的截距最大，
此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（5，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=2×5-1=9．
即目标函数z=2x+y的最大值为9．
当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最小，
此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{y=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-1，-1），
代入目标函数z=2x+y得z=-1×2-1=-3．
即目标函数z=2x+y的最小值为-3．
则最大值与最小值的和为9-3=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．