Question

12．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为$ρ=2sinθ，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$．
（1）求C的参数方程；
（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线$l：x-\sqrt{3}y-2=0$垂直，根据（1）中的参数方程，确定点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出半圆C的直角坐标方程，由此能求出半圆C的参数方程．
（2）设点D对应的参数为α，则点D的坐标为（cosα，1+sinα），且α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，半圆C的圆心是C（0，1）因半圆C在D处的发线与直线l垂直，故直线DC的斜率与直线l的斜率相等，由此能求出点D的坐标．

解答 解：（1）∵半圆C的极坐标方程为$ρ=2sinθ，θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$．
即ρ²=2ρsinθ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴半圆C的直角坐标方程为x²+y²-2y=0，x∈[0，1]，
∴半圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.，（α∈[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]为参数）$．
（2）设点D对应的参数为α，则点D的坐标为（cosα，1+sinα），且α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，
由（1）知半圆C的圆心是C（0，1）
因半圆C在D处的发线与直线l垂直，故直线DC的斜率与直线l的斜率相等，
$\frac{（1+sinα）-1}{cosα}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵α∈[-$\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]，∴α=$\frac{π}{6}$，
∴点D的坐标为D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查参数方程的求法，考查点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化公式的合理运用．