Question

2．若函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=2b（其中a，b不同时为0），则称函数y=f（x）为“准奇函数”，称点（a，b）为函数f（x）的“中心点”．现有如下命题：
①函数f（x）=sinx+1是准奇函数；
②若准奇函数y=f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），则函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
③已知函数$f（x）=sin（{2x-\frac{π}{3}}）+2$是准奇函数，则它的“中心点”为$（{\frac{π}{3}+kπ，2}）$
④已知函数f（x）=x³-3x²+6x-2是准奇函数，则它的“中心点”为（1，2）；
其中正确的命题是①②④（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①，f（0+x）+f（0-x）=2，得a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义；
②，根据函数“准奇函数”的定义，利用函数奇偶性的定义即可证明函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数；
③f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$+x）+f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$-x）=2，得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，b=1
④，f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，得点（1，2）为函数f（x）的“中心点”．

解答 解：对于①，∵函数f（x）=sinx+1，∴f（0+x）+f（0-x）=2，∴a=0，b=1，满足“准奇函数”的定义，故①正确；
对于②，若F（x）=f（x+a）-f（a），则F（-x）+F（x）=f（x+a）-f（a）+f（-x+a）-f（a）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a），
∵f（x）在R上的“中心点”为（a，f（a）），∴f（a-x）+f（a+x）=2f（a），即F（-x）+F（x）=f（a-x）+f（a+x）-2f（a）=0，
∴F（-x）=-F（x），∴函数F（x）=f（x+a）-f（a）为R上的奇函数，∴故②正确；
对于③，f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$+x）+f（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$-x）=2，得a=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，b=1，故错
对于④，函数f（x）=x³-3x²+6x-2，∴f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+6（1+x）-2+（1-x）³-3（1-x）²+6（1-x）-2=4，
∴点（1，2）为函数f（x）的“中心点”，故④正确．
故答案为：①②④

点评 本题主要考查函数中心的定义的应用，综合性较强，运算量量较大，难度较大