Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若∠PBA=60°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，推出CD⊥AE，PA⊥CD，然后证明CD⊥平面PAE．
（2）求出的底面面积以及高即可求解几何体的体积．

解答 证明：（1）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5．
又AD=5，E是CD的中点，所以CD⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又PA∩AE=A，
所以CD⊥平面PAE．
（2）由已知可得$PA=4\sqrt{3}$，S_ABCD=16，$V=\frac{1}{3}×16×4\sqrt{3}=\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．