Question

5．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=-2x上，且该圆存在两点关于直线x+y-1=0对称，又圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l₁相交于点P．
（1）求圆A的方程；
（2）当$|{MN}|=2\sqrt{19}$时，求直线l的方程；
（3）（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出圆A的半径，根据以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l₁：x+2y+7=0相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；
（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（-2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；
（3）由直线l过点B（-2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．

解答 解：（1）由圆存在两点关于直线x+y-1=0对称知圆心A在直线x+y-1=0上，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{x+y-1=0}\end{array}}\right.$得A（-1，2），
设圆A的半径为R，因为圆A与直线l₁：x+2y+7=0相切，
∴$R=\frac{{|{-1+4+7}|}}{{\sqrt{5}}}=2\sqrt{5}$，
∴圆A的方程为（x+1）²+（y-2）²=20，
（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=-2符合题意，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），
即kx-y+2k=0连接AQ，则AQ⊥MN，
∵$|{MN}|=2\sqrt{19}$，∴$|{AQ}|=\sqrt{20-19}=1$，
由$|{AQ}|=\frac{{|{k-2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得$k=\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为3x-4y+6=0，
∴所求直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0，
（3）∵AQ⊥BP，∴$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AQ}$）•$\overrightarrow{BP}$=2（$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BP}$+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BP}$）=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$，
当直线l与x轴垂直时，得$P[{-2，-\frac{5}{2}}]$，则$\overrightarrow{BP}$=（0，$\frac{5}{2}$），又$\overrightarrow{BA}$=（1，2），
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{x+2y+7=0}\end{array}}\right.$，解得$P[{\frac{-4k-7}{1+2k}，\frac{-5k}{1+2k}}]$，∴$\overrightarrow{BP}$=（$\frac{-5}{1+2k}$，$\frac{-5k}{1+2k}$），
∴（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BQ}$•$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BP}$=2（$\frac{-5}{1+2k}$+$\frac{-5k}{1+2k}$）=-10
综上所述，（$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$）•$\overrightarrow{BP}$是定值，且为-10

点评 本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，直线的一般式方程，圆的标准方程，其中（1）的关键是求出圆的半径，（2）的关键是根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，求出弦心距（即圆心到直线的距离），（3）中要注意讨论斜率不存在的情况，这也是解答直线过定点类问题的易忽略点．